José Carlos Varela Peña: “Gauss”

Resulta una auténtica osadía intentar comentar un libro cuyo contenido en gran parte no se entiende. Hay que decir en descargo de ella, que otra parte sí se entiende y está bien escrita. Es por otra parte un libro peculiar. Se trata de uno de los publicados en una serie de divulgación, concretamente, en la de “Grandes ideas de la ciencia”, de RBA, en cuya portada ni siquiera se consigan la identidad del autor. Esto se subsana cuando en Wikipedia se nos indica —en 2018— que el autor, José Carlos Varela Peña, tiene 41 años, tres hijos y que piensa contar al final del año con nueve carreras que van de la de Derecho (ejerce como abogado) a las de Física, Ingeniería industrial o Caminos. Todo basado fundamentalmente en la UNED. Digamos que este tipo de formación parece especialmente apto para la tarea de divulgación.

Parece que Gauss es el tipo de personaje científico que parece responder también a esa multiplicidad de actividades, ya que, aunque renovó las matemáticas con sus exploraciones y descubrimientos, extendió su actividad a campos como la astronomía, la óptica, la física y la geodesia. Aunque destaca como matemático revolucionario, lo cierto es que también fue director de un observatorio astronómico, inventó algún instrumento óptico y dedicó ocho años de su vida a la triangulación de Hannover. Con ser tan trascendental la huella de Gauss en las matemáticas, el libro se preocupa, casi por igual, por su vida. No solamente la académica, sino también la que pidamos llamar sentimental y la profesional. De no ser así, sin embargo, un libro sobre Gauss que únicamente atendiera a sus conquistas científicas resultaría incompleta. Recordemos que de esta forma se está de acuerdo con el título “Gauss”, aunque no tanto con la de la colección “Grandes ideas de la ciencia”. Las ideas son aquí de Gauss y su huella personal no deja de ser indispensable.

Uno de los subtítulos del libro es el siguiente: “Si los números pudieran hablar” y es que, efectivamente, el gran esplendor de Gauss se produce en el entorno de los números, de la aritmética, en concreto definida por el diccionario de la Real Academia como la “parte de la matemática que estudia los números y las porciones que se hacen con ellos”, algo que llega hasta la “Teoría de los Números”. Tras una breve alusión al remoto origen de los números, el libro nos expone las distintas categorías que los matemáticos fueron distinguiendo. Quizá lo más destacable es la forma en que se describe como fue necesario ampliar el campo de los números. Se comenzó con los números naturales: la familia tenía que decir que tenía una casa, dos caballos y diez cabras y lo hacía de forma natural. Pero si le robaban dos cabras, era necesario recurrir a números negativos que hicieran que de diez cabras, su número se redujera a ocho. El conjunto de números positivos y negativos forman el conjunto de los números enteros. Llega una fiesta y los cuatro miembros de la familia se reparten un pastel: ahora es preciso recurrir a otra clase de número: los números fraccionarios. Ahora, cuando se añaden a los números enteros surge el conjunto de los números racionales.

Hasta aquí ha llegado la familia; surge entonces la figura de Hipaso de Metaponto. No fue el único, pero se llevó la fama. Se preguntó simplemente cuanto medía la diagonal de un cuadrado. Si, por ejemplo, este cuadrado tenía 1 metro de lado, la diagonal, es decir la hipotenusa, sería  (aplicando el teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, o sea, 1 + 1), lo que no es ni número entero ni fraccionario porque no se podría representar por una fracción. Pero esa diagonal existía y tenía un extraño número. Al conjunto de estos números se les llamó números irracionales. Y sumados a los racionales compusieron la categoría de números reales. La recta que sobe la que se situaban todos los números estaba ya completa. Ahora fue la matemática la que amplió el horizonte. Y la provocación provino de los polinomios con soluciones absurdas. La más sencilla es esta ecuación:  + 1 = 0. La solución es clara: X = . A ese número se le llamó “i” y junto a los sus números hermanos formaron la categoría de los números imaginarios. Culminando con la de los números complejos, integrados por una doble componente, real e imaginaria.

Es el momento de volver a Gauss porque “logró probar que no sería necesario recurrir a nuevos números”. Con ello demostró el llamado teorema fundamental del álgebra. Incluso superó el problema de hallarles sitio en una recta ya llena, creando una nueva recta también llamada imaginaria. Cuando presentó su demostración, ocultó como en él era habitual, borró las huellas de sus razonamientos previos. Como dijo el matemático Abel: “Es como el zorro que borra sus huellas en la arena con su cola”.

Aun así, lo escrito por Gauss es mucho. Destaca la obra “Disquisitiones Arithmeticae” que publicó el Leipzig en 1801. Es una obra magna (quizá de la misma importancia que los “Elementos” de Euclides) donde no solamente se recopilan los conocimientos existentes sobre los números, sino que se da al conjunto una coherencia y una estructuración antes inexistente. De esta forma se puede considerar esta obra como la creacion de la “Teoría de los números”. En el libro que comentamos se describe el contenido de las siete secciones que lo componen.

Gauss tampoco pudo permanecer impasible ante el efecto hipnótico que parecen tener históricamente los números primos, tan raros, tan imprevisibles, tan importantes. Ya en Grecia, Eratóstenes creó su famosa criba y Euclides demostró que su número era infinito. Trató Fermat de buscar una fórmula general generadora de números primos, labor que acometieron también Martin Marsenne y a Leonhard Euler. Gauss, aun joven, apenas un niño, “llegó a conjeturar el teorema de los números primos, que viene a decir que la cantidad de números primos menores que un natural N se puede aproximar por el cociente de N entre su logaritmo neperiano”. Si esta idea ya es compleja y densa en su exposición en el libro, la cosa se complica cuando se analiza la nueva orientación de la demostración ante el cálculo de probabilidades, hasta llegar a remansarse en la hipótesis de Riemann, incluida en su tesis doctoral que el propio Gauss dirigió.

Doy por sentado que quienes no tienen la suficiente soltura con el manejo de ecuaciones algo complejas tiene más que limitada la lectura del libro. De éste podrá recorrer tanto las ideas básicas de Gauss como las incidencias de su vida. Lo que es suficiente por una parte e imprescindible por otra. La imagen vital que nos ofrece el libro es el de una persona de una especial sobriedad, un introvertido que obtenía su recompensa en los descubrimientos que iba realizando. Hay dos aspectos que destacan: el primero la precocidad, asentada sobe una especial tenacidad y una aceptación del esfuerzo. De hecho, eso le permitió tener una vida de trabajo larga (murió a los 77 años) tan solo interrumpida por los ocho años de dedicación a la triangulación y los empleados en el proyecto que dirigía. La segunda es la presencia de un mecenas que hizo posible esos trabajos: el Duque de Brunswick quien hasta su muerte le protegió y financió. Gauss, no hay que olvidarlo, vivió los inquietantes años de las invasiones napoleónicas y sufrió sus consecuencias. No parece que tuviera madera de héroe y sí vocación científica. Junto a ese entorno, hay igualmente que constatar que Gauss tuvo siempre la facilidad y la suerte de encontrar y hasta llegar a convivir con matemáticos famosos a los que hizo compañía en los medios académicos.

Todo hubiera sido inútil si no se hubiera acompañado de la absoluta dedicación de Gauss a los problemas pendientes de la matemática. Su lanzamiento a la recoleta fama de los científicos se produjo no solamente por la temprana publicación de las “Disquisitiones Arithmeticae”, sino por su hallazgo del planeta Ceres. Era una historia curiosa: las distancias de los planetas al sol ofrecían una pauta que presentaba una ruptura: debía existir un planeta desconocido entre Marte y Júpiter. Tras ser perseguido durante décadas por los más célebres astrónomos, Gauss demostró su existencia con la simple aplicación de los mínimos cuadrados. El descubrimiento de ese planeta oscuro fue reconocido y celebrado. Por fortuna para Gauss esto le dio cierta fama y, cuando cesó la protección del duque Brunswick, el apoyo llegó a través de su nombramiento como director del observatorio de Gotinga. Su solicitud había sido apoyada por Alexander von Humboldt y por Heinrich Olbers (el médico y astrónomo que planteó la famosa paradoja: ¿por qué el cielo nocturno es oscuro cuando hay infinitas estrellas?).

Una sorpresa: la famosa campana de Gauss, cuya titilación se escucha continuamente, no fue descubierta por Gauss ya que su esencia, la distribución normal o gaussiana, fue presentada en 1733 por Abraham de Moivre. Otros muchos la estudiaron, pero curiosamente se quedó con el nombre de campana de Gauss “porque como director del observatorio de Gotinga la usó reiteradamente cuando analizaba datos astronómicos”. De forma que el nombre de uno de los matemáticos más importantes de la historia tiene su máxima difusión por algo cuya autoría no le corresponde.

Habrá que insistir en el hecho de que este es un libro útil porque aporta ideas y clarifica otras, pero que, en gran parte, deja de serlo en aquella parte que requiere una cierta facilidad en el manejo de conceptos y ecuaciones matemáticas. Desde ese punto de vista, excede de lo que sería simple divulgación, pero se quedaría corto para quien quisiera conocer la doctrina gaussiana.

Es un libro que hay que coger como es, con sus limitaciones (que de la misma forma tuvieron que ser para el autor, lo serán también para el lector, aunque con distinto signo). Son las propias de la literatura de divulgación tan humilde como digna; pero repito: hay que cogerla como es. Sabe hasta dónde puede volar: hasta dónde piensa que el lector puede volar.

“La teoría de números., Gauss. Si los números pudieran hablar” (190 págs.) es un libro escrito por Juan Carlos Varela Peña en 2017 y publicado por RBA en 2018 en su serie divulgativa “Grandes ideas de la ciencia”.