Es quizá uno de
los libros más curiosos que he leído últimamente. No es sino una recopilación
de las respuestas dadas por Albrecht Beutelspacher a las preguntas formuladas
por visitantes del museo interactivo de Matemáticas (llamado Mathematikum) existente
en Giessen, una pequeña población alemana de 72.000 habitantes del estado de
Hesse, aunque, eso sí, sede de la Justus Liebig Universität. Beutelspacher es
el director del museo y no hace sino recopilar las contestaciones dadas por él a
las consultas llevadas a cabo por visitantes del museo. Pero este origen
“popular” de las preguntas no puede ni siquiera ocultar la calidad de las
respuestas dadas a las 101 cuestiones planteadas, las cuales se agrupan en 6
capítulos que abordan temas matemáticos puros, y otro 5 a temas relacionados simplemente
con las matemáticas, aunque unos abordan cuestiones filosóficas y otros, las anecdóticas
o simplemente opinables.
En su parte teórica
y puramente matemática, el atractivo del libro radica en que aborda cuestiones
que, por básicas y fundamentales, han escapado de nuestra atención (o nunca han
estado en ella). Beutelspacher nos muestra su especial fijación por el primer libro
de matemática: Los “Elementos“ de Euclides. “una obra que marcó estilo e
ilustra de forma ejemplar la construcción de una ciencia”, “que consiguió crear
un patrón de facto que ha caracterizado y definido las matemáticas a lo largo
de 2.300 años, y que seguirá haciéndolo mientras existan las matemáticas. Una
obra en la que según se cree no hay ninguna proposición demostrada por primera
vez, pero que, lejos de ser una recopilación, dio forma a todo su contenido de
una forma matemática.
Inmediatamente,
el autor nos hace (transmite) una pregunta que a muchos nos dejará atónitos: “¿Qué
es un punto?”. Euclides nos proporciona una definición: “punto es aquello que
no tiene partes”. Pero Beutelspacher nos agobia con dos aclaraciones: una, que
jamás se usa; otra, que no se necesita. Antes de que nos repongamos se plantea
la pregunta de qué es una demostración. Una demostración se basará en otra
demostración y, al final, llegaremos a aquello que no se puede demostrar: los
axiomas. Al final Hilbert nos dirá que los axiomas sólo son reglas de juego,
nunca identificados con la verdad. Y se nos citará a Bertrand Russell: “De modo
que las matemáticas se pueden definir como la ciencia en la que nunca sabemos
de lo que se habla y nunca sabemos si lo que decimos es verdad”, Con la
advertencia del autor de que “no debe interpretarse unicamente como un
comentario jocoso y despectivo”. No se despedirá
sin afirmar el carácter abstracto y humanístico de las matemáticas.
Así, ya definitivamente
desconcertados, se nos arrastra al jardín mágico de los números, primero de los
apartados al que seguirán los de formas y patrones, fórmulas, azar y cálculo
infinitesimal.
Los números tiene, ante todo una historia
que se traduce sobre todo en su plasmación escrita y en el “invento” del cero.
En torno a éste se plantea la cuestión de si es par o no, y su incapacidad para
ser utilizado como divisor. De los grandes números afirma Beutelspacher que
“tienen algo de fascinantes”, cosa no de extrañar cuando explica que un gúgol
fue un número ideado por el norteamericano Edward Kasner, bautizado así por su
sobrino y que equivale a 10 elevado a 100 (es decir, un uno seguido de 100
ceros, algo que sobrepasa el número de átomos que hay en el universo). Más tarde
definió el gúgolplex, equivalente a 10 elevado a un gúgel. Por descontado puede
usted ahora definir el hipergùgolplex. ¡Ánimo! Sucede que siempre nos
encontraremos con el axioma de inducción o de Peano: ”siempre se puede seguir
contando”. De forma que, al hablar de los números, uno tiene la sensación de
terminar rondando la idea de lo innumerable. Y esto no solo aplicará a los números
naturales, sino a esa cosa tan extraña como son los números primos, y a las
formas peculiares de números constituidos por los negativos, los fraccionarios,
los racionales, los imaginarios o los complejos.
Al tratar de formas y patrones entramos en la geometría.
Una rama en la que unicamente se admitía la utilización de la regla y el compás
para llevar a cabo demostraciones. Fue una exhibición del ingenio humano el
lograr que esa limitación solamente se topara con tres problemas irresolubles:
la cuadratura del cubo, la trisección universal de un ángulo y la cuadratura
del círculo. Las cuestiones abordadas se refieren a aspectos un tanto curiosos;
desde el papel DIN4 hasta las matemáticas no euclídeas, pasando por el número
limitado de los sólidos platónicos.
El apartado
referente a las fórmulas no es precisamente el más fuerte. Sí que explica por
qué existen los números negativos (piense en sus deudas) o cómo Galois demostró
la imposibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado. Concluye refiriéndose
a los números trascendentes, imposibles de encajar en ecuaciones y que Cantor demostró
que era innumerables.
El mundo
matemático del azar nos enfrenta con
el cálculo de probabilidades fundamentalmente. Es quizá la menos interesante
por estar contaminada por una idea de maximización que hemos ligado en exceso a
la ganancia, es especial la de dinero, y la seguridad. Todo es tan razonable
que, en ocasiones, parece desconcertante. Entramos de hecho en un área en que
la exactitud existe, pero referida únicamente a porcentajes y aproximaciones
Vuelve a tener
especial interés el capítulo referido al cálculo
infinitesimal. Es un terreno siempre acechado por Aquiles y sus tortugas,
en un guion astutamente escrito por Zenón de Elea. Beutelspacher a continuación
va a formular una pregunta “¿Es 0,999... = 1?”. La contestación fácil es decir
que no y así nos equivocaremos. Se nos enseña que la expresión 0,999 es distinta
de la de 0,999…; ésta significa “cero coma nueve periódico” (matemáticamente representado
con un 0,9 con un trazo horizontal sobre el 9). O sea, los tres puntos nos
indican cómo continúa monótonamente la sucesión. Y ello nos evidencia que
converge hacia algo. Las series convergentes son muy numerosas, pero también
existen las divergentes. Y en general ofrecen aspectos sorprendentes. El libro
destaca una: la suma de la serie constituida por los inversos de los cuadrados
de los números naturales converge hacia la sexta parte del número π
al cuadrado. El problema lo planteó Bernoulli y lo resolvió Euler, pero ¿qué
hace el número π como límite de una serie que nada tiene que ver con el
círculo? Esa relacion se concreta en la llamada “funcion Zeta” que definiò
Riemann en el siglo XIX y sigue sin resolverse.
A
partir de aquí el libro aborda temas relacionados con la matemática, aludiendo
en primer término a la generalidad del ámbito de sus aplicaciones, su relación
con la guerra, la música y la informática, al mismo tiempo colaboradora y amenazante
Beutelspacher
se pregunta si queda algo por descubrir. La respuesta mayoritaria es
afirmativa. Lo prueba la simple existencia de problemas declarados pendientes o
los 100.000 teoremas que aproximadamente se publican cada año en revistas
especializadas. Recuerda la famosa conferencia que en 1900 dio en París David Hilbert
y en la que éste planteó, no lo conseguido en el siglo XIX, sino lo que el
siglo XX debía descubrir: 23 problemas básicos pendientes de demostración,
varios de los cuales están todavía pendientes de ella. Como ejemplo de problema
aparentemente sencillo pero irresoluto se cita éste, llamado la conjetura de
Collatz: (3n + 1). Tomemos un numero cualquiera, si es par dividámoslo por 2 y
si es impar multipliquémoslo por 3 y sumemos un uno. Sea cualquiera el número
del que partamos llegaremos al número 1. Siempre hasta el trillón, que es lo
que ha podido comprobar, pero demostración de que exista un número en que no
cumpla persiste. Al final se enfrentan Hilbert (“A diferencia del estulto ‘ignorábamos’ nuestro lema será; Debemos
saber, sabremos”) y Kurt Gödel (“Hay enunciados
cuya veracidad o falsedad no se puede demostrar”) quien, por cierto, también
afirmó que “¡por medios matemáticos no se
puede demostrar la ausencia de contradicciones en esas mismas matemáticas!”.
Sería necesario en todo caso pasar a un terreno más amplio.
Tiene
menor interés lo que se afirma de los matemáticos, sobre la necesidad o no de intuición
o de imaginación, sobre quiénes son los más destacados e importantes. Curiosamente,
al abordar la escasez de mujeres entre los matemáticos, tras afirmar que están
igualmente dotadas que lo hombre para las matemáticas añade “que ellas se
interesen o no por las matemáticas depende de otros factores”.
El libro
termina en una serie de cuestiones un tanto variopintas en las que se abordan
los aspectos más nobles de las matemáticas, su utilidad formativa y otras de
menor calado. Se termina hablando de alienígenas (las matemáticas sería el único
lenguaje intercambiable) y de Dios (las matemáticas no prueban su existencia ya
que son creación del hombre, pero no la niegan y recuerda la posicion de
Pascal: apostar por ella, aunque no esté probada)
En defintiva,
se trata de un libro muy interesante, aunque desigual en ese interés. Expuesto
con claridad y llaneza, aunque sin ocultar la profundidad de lo expuesto,
brinda pistas, aclara ideas y remueve prejuicios. Un libro que, para aquellos a
los que no disgusten las matemáticas, será un placer leerlo.
“Matemáticas: 101 peguntas fundamentales”
es un libro escrito por Albercht Beutelspacher y publicado por Alianza Editorial
en la colección de Libros de Bolsillo
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