Joaquín Navarro : “Al otro lado del espejo. La simetría en las matemáticas.”

La simetría es algo que tiene un especial atractivo. Parece amarla y cultivarla la propia naturaleza, pero ésta al mismo tiempo se nos muestra irregular, asimétrica y caótica. Parece existir una lucha entre el orden y el desorden, pero en ocasiones dudamos de que éste realmente exista y que la simetría no se esconda finalmente en el caos.

Joaquín Navarro Quijada terminó su licenciatura en Ciencias Exactas a la edad de 20 años. Compaginó luego su vocación matemática con el desempeño de distintas funciones en el campo de la edición. Una hemiplejia hizo que retornara al campo de la matemática en donde ha tenido un papel fundamental su función de divulgador, ejemplo de lo cual es este libro. Otros ha sido los dedicados a “Los secretos del número Pi” y a lo que denomina “Ideas fugaces, teoremas eternos”.

¿Tiene sentido que una persona como yo, de pobres conocimientos matemáticos, a caballo entre la ignorancia y el olvido, trate de comentar un libro como éste? Diré a modo de excusa que se trata de un libro que será plenamente satisfactorio —supongo— para el que deambule con soltura por el siempre complicado mundo de la matemática; pero que, al mismo tiempo, permite al profano, saltándose párrafos y páginas de explicación y descripciones que se le exceden, adquirir un conocimiento de lo que supone la simetría que, aunque sea vago y escasamente preciso, satisface su curiosidad.

Muy pronto, Navarro se pregunta “Pero ¿a qué llamamos simétrico?”. Con sarcasmo abre su capítulo primero con una cita de Mao Zedong: “Es que no lo entiendo; ¿Por qué es tan importante eso de la simetría?”. Lanzado ya al agua, afirma que el término simetría no designa en la matemática lo mismo que en otras áreas de la ciencia o la vida cotidiana. Y aun así no debe ser único, ya que opta por el que considera “más vago, más laxo y menos abstracto y exigente”. En esa línea, compasiva para el “sufrido lector”, indica que, en referencia a los objetos, “llamaremos simétrico a aquel que coincide consigo mismo al moverlo sin deformación de modo “normal”, es decir, nos limitaremos a un concepto de simetría que conserva inalteradas las distancias”.

Dicho eso, nos comienza a mover los objetos. Ya manejando los unidimensionales, nos señala la diferencia que existe entre los radianes y los grados. Pasa a los bidimensionales, donde ya nos aparece como cuatro movimientos que preservan las distancias: la reflexión, la rotación, la translación y la reflexión con deslizamiento. Y con un triángulo nos muestra que, aplicando rotaciones (llamémoslos giros) y reflexiones (llamémoslos vuelcos), se obtienen seis posibles ejes de simetría, que pueden reflejarse en un cuadro que recoge las posiciones y las finales donde aparecen seis elementos neutros entre los 26 posibles. Tomando un cuadrado en lugar de un triángulo, el cuadro pasará a tener 8 simetrías (coincidencias) entre las 64 posibles. Ese tipo de progresión seguirá observándose en oros poliedros, hasta llega al círculo que tiene infinitas simetrías.

Hagamos un alto en el camino aprovechando que las observaciones del libro nos desbordan ya totalmente. Uno de sus atractivos radica en las numerosas referencias que, en espacios separados y sombreados de gris, alude a los matemáticos que han ido construyendo las ideas sobre las que se centra el texto. Son referencias breves pero suficientes para exponer las trayectorias vitales fundamentales de esos matemáticos y las aportaciones realizadas a esta ciencia. Es, lógicamente, una serie de referencias que recogen solamente a aquellos matemáticos cuya obra se desarrolló a partir del siglo XVII, mas o menos. Que tiene además la virtud de extenderse hasta los matemáticos que continúan aportando sus ideas a lo largo de la segunda mitad del siglo XX y los comienzos del actual.

Volvamos a la realidad y ella nos conduce, de la mano de Navarro, a los grupos, una noción que invade progresivamente todo el campo matemático; “pocas áreas de la matemática, por no decir ninguna, se libran de la presencia de los grupos, incluyendo el teorema que posiblemente fue en su día el más largo de la historia, la clasificación de los grupos simples”. Y añade: “Como es lógico, el estudio de los grupos va de los conceptos más fáciles a los mas complejos; en el siglo XXI dicha complejidad ha alcanzado extremos que para los no iniciados son intimidatorios. No esperamos que este capítulo sea incomprensible, pues no se trata de los grupos a nivel estratosféricos, pero sí que cuesta cierto esfuerzo su asimilación”. Y dicho eso, el autor se lanza a hablarnos de subgrupos normales, de grupos cocientes, de grupos simétricos, de grupos abelianos… llega al “monstruo” cuyo orden requiere ser representado por un número de 18 dígitos.

Sentimos cierto descanso (después de saltarnos el capítulo de los grupos) al encontrarnos con algo cotidiano: la simetría especular. En el espejo nos vemos al revés, pero el libro nos recuerda que cuando el peluquero nos coloca un espejo en el cogote para que aprobemos su corte de pelo, recuperamos visualmente la normalidad. En relación con ello, se nos hablará tanto de algo tan antiguo como el calidoscopio como tan reciente como la idea del Calabi You que venía a auxiliar a la “geometría enumerativa” (más información en Wikipedia). Constituye también un cierto descanso el repaso que se da a los cuerpos platónicos (el tetraedro y cuatro más) y sus relaciones con la simetría, lo que da pie a distinguir entre los mismo de los poliedros no convexos y no regulares, y a los descubrimientos realizados por Harold Coxeter, que incluso se ocupo de los “politopos”, poliedros de dimensiones superiores a 3.

El matemático Galois, revolucionario, muerto en 1832 a los 21 años en un duelo, es una personalidad que, indudablemente, atrae a Joaquín Navarro. Desde luego fue el precursor del análisis de los grupos, aunque lo hiciera enfocándolos a la resolución de ecuaciones. Una ecuación de primer grado (una simple x como incógnita) tiene una solución, pero la de segundo grado tiene esa doble soluciona a la que llegamos en nuestro bachillerato. Y la de tercer grado tiene ya tres soluciones de complejísima expresión. La de cuarto grado tiene todavía más complicada la cuádruple solución, aunque Ferrari, ya en 1540, halló la solución, la receta aritmética para hallarlas que “es realmente temible, por no decir monstruosa, por mucho lenguaje moderno que se utilice”. Ferrari recurrió a una simplificación, tal como actualmente se hace. Con Galois llegaremos al intento de resolución de las ecuaciones de quinto grado. Pero para seguirle hay que enfangarse en su teoría de grupos.

Cuando entramos en el apartado de la “simetría en las matemáticas”, sentimos una cierta sorpresa ¿no es la simetría algo propio y privativo de las matemáticas? La sensación se nos pasa cuando más adelante veremos cómo invade otros ámbitos como el físico o el biológico. Navarro parece darnos un cierto descanso y habla de cosas tan próximas a nosotros como el famoso cubo del Erno Rubik, aunque para intranquilizarnos algo nos indica que el número de permutaciones posibles supera los 43 cuatrillones (europeos, claro) y que colocados en su tamaño habitual unos junto a otros cubrirían la superficie de la tierra casi 300 veces. Salta luego a los “domos geodésicos” (“estructuras esféricas o casi esféricas que sigue una red de poliedros que aproximan la superficie de sus caras a una esfera”); o sea, un balón de futbol o la cubierta de un estadio. Y sigue, ya olvidada o despreciada la limitación del lector, por las redes, por los mosaicos, frisos y ornamentos que hacen a nuestra Alhambra lugar de peregrinación de los algebristas). La cosa se va complicando para el profano hasta llegar a los grupos de Lie o el programa de Erlangen (donde nos aparece hasta la botella de Klein).

Todo esto nos conduce al título triunfalista del capítulo final y sexto: “Simetría en todas las partes”, Para comenzar afirma que “el mundo físico es donde la simetría brilla con todo su esplendor”. En ella “la simetría ocupa un lugar especial de privilegio”. Desde lo cotidiano a lo cuántico. Uno se pregunta dónde se queda el caos y por qué no se menciona el aparentemente desordenado cosmos.

Comenzará refiriéndose a una matemática casi desconocida, Emmy Noether, cuya aportación a la simetría fue el teorema de invarianza que afirma que “en física, toda fórmula matemática equivale a la existencia de una entidad física invariante. Y viceversa. Un ejemplo: la invariante traslación temporal queda referida a la energía; de la traslación espacial, al momento lineal… De alguna forma, este teorema parece acercar la simetría al cosmos, al permitir pensar en un espacio positivo contrapuesto a otro negativo; a un tiempo que avanza a otro que retrocede… en fin algo que nos hace pensar, desde la ignorancia, en la antimateria o en los componentes oscuros del cosmos. Pero se nos sigue hablando de la simetría en l teoría cuántica o simetría cuántica, donde aparecen los fantasmas de la constante de Planck o el principio de indeterminación de Heisenberg. Se desemboca por fin en la supersimetría, generada por al sospecharse que “quizá hay alguna simetría mayor que engloba a la del modelo standard y que podría dar respuesta a algunas incorrecciones”. Es la Gran Teoría Unificada.

Como colofón se hace una breve alusión al campo de biología (la simetría del ADN). En el campo de la química, la quiralidad o propiedad de un objeto de no ser superponible con su imagen especular, es la reina. En el arte se nos recuerda a Escher

Uno se acuerda muchas veces de Popper, la persona que nos ha hecho a todos un tanto escépticos y un algo relativistas. Son repetidas las ocasiones en las que se evidencia como unas teorías han sido superadas por otras. El mismo Navarro parece esperar o soñar alguna vez con la teoría total que explique todo a través de la unificación. Uno acaba, machadiano como siempre, pensando que el camino se hace al andar.

El libro vale la pena, aun siéndome ininteligible en gran parte por mis limitaciones, porque cumple la misión de corregir la pobre imagen que de la simetría tenía y de hacerme presentes esas limitaciones. Es entretenido y uno gana en humildad.

“Al otro lado del espejo. LA simetría en las matemáticas” (10 págs.,) es un libro escrito por Joaquín Navarro en 2010 y publicado ese mismo año por RB Coleccionables en su colección “El mundo matemático”. El mismo ha sido publicado nuevamente en distintos formatos y colecciones con distintas cubiertas.