Carlos Madrid Casado : “Hilbert. En busca de unos axiomas universales”

El libro está escrito por una persona cuyo interés por la ciencia es innegable. Carlos Madrid Casado es matemático, pero es raro el tema que escapa de sus manos a poca relación que tenga con su formación. De ahí que entre su obra encontremos libros sobre temas de filosofía, de cosmología, de física, naturalmente, o de paleontología. Pero también le encontramos comentando publicaciones sobre el problema del populismo español.

Carlos Madrid Casado, que nació en 1980, es licenciado en matemáticas y doctor en Filosofía de la Universidad Complutense, en la que hoy es profesor de Estadística. Colabora con la Fundación Gustavo Bueno, escribe, da conferencias. Una faceta que debe destacarse es su colaboración con el blog “El Catoblepas”, autocalificada de “revista crítica del presente”

Sorprende ver en una colección de divulgación un libro escrito por alguien sin aparente vocación de divulgador. A Carlos Madrid le gusta volar alto, aunque de cuando en cuando trata de ser asequible en términos que permiten hacer fácil la comprensión del lector o del asistente a su conferencia. Pero resulta que eso es difícil llevarlo a cabo cuando la complejidad de la matemática ha sido inficionada con la inspiración filosófica. Uno se pregunta: ¿es posible una filosofía de la matemática o una matemática filosófica? Es ilustrativa una frase de David Hilbert que destaca el libro “La física se está haciendo demasiado complicada para dejársela a los físicos”. ¿Sucede algo así las matemáticas que requieren también ser acogidas por la filosofía?

Ha abordado la lectura de este libro atraído por la constante referencia al espacio o los espacios de Hilbert. Pero lo he hecho con mi pobre bagaje del bachillerato y el escaso agregado de mi afición por lo que de mágico tiene la matemática elemental ya conocida. De ahí que uno se pregunte si no estará siendo el zorro que acusa a las uvas que no alcanza de estar verdes. Pero al mismo tiempo constata que Carlos Madrid nos dice ¿Qué demuestran los teoremas de limitación de Gödel o Tarski para el matemático en activo? Que “la matemática es un conejo demasiado grande para sacarlo de una chistera tan pequeña como es un sistema axiomático, por hábil que sea ese prestigiador llamado Hilbert”.

Si la vida de David Hilbert basculó entre dos únicas ciudades, Königsberg y Gotinga, su pensamiento fue trasladándose de unos campos matemáticos a otros, pisando incluso áreas próximas: álgebra, geometría análisis, física teórica y fundamentos de la matemática. Vivió una época en que la matemática buscó sus propios fundamentos. Surgieron así tres tendencias: el logicismo procedente de Frege y Russell, el intuicionismo defendido por Poincaré y Brower, y el formalismo. Éste último es el encuadre de Hilbert quien defendía que ”los razonamientos matemáticos podían ser presentados axiomáticamente dentro de un sistema formal, sin mención alguna al significado de los símbolos”. Todo acabó en un “rotundo fracaso”, cuando en 1931 Kurt Gödel anunció que los métodos de Hilbert eran insuficientes para demostrar la consistencia de las matemáticas. “No era posible probar la certeza incontrovertible de las matemáticas”. El prestigio de la escuela de Gotinga se fue abajo; poco más tarde los nazis la eliminaron.

Sin embargo, ello, aun reconocido por Carlos Madrid, no impide que éste le alabe como uno de los grandes matemáticos del siglo XX, que había logrado romper con números, fórmulas y figuras para manejar exclusivamente estructuras abstractas. Hilbert había partido de las invariantes (creando la idea de demostración existencial), había pasado por el campo del álgebra y la teoría de los números, hasta saltar más tarde a la geometría, entonces afectadas por la pluralidad de concepciones no euclidianas. Es entonces cuando le asalta la invencible tentación de enfocar definitivamente todo a través de un sistema de axiomas. Afirma: “Uno debería poder decir siempre, en lugar de ‘puntos, rectas y planos’, ‘mesas, sillas y jarras de cerveza’.”

Para el profano, Hilbert suele traer a la memoria dos cosas: su famoso “espacio” y, antes, el desafío llevado a cabo el 8 de agosto de 1900 en donde expuso problemas que debían ser resueltos por los matemáticos. En realidad, era un enfrentamiento a lo expuesto tres años antes por Poincaré cuando éste planteó un programa marco para el desarrollo de las matemáticas que pretendía cubrir un triple fin: el físico, el filosófico y el estético. Hilbert expuso 23 problemas pendientes de demostración. En el libro se indica el contenido de cada uno de ellos y en un cuadro se refleja la situación en que se encuentran, unos resueltos y otros pendientes de solución. Pasado algo más de un siglo sobrepasan la mitad los resueltos, aunque “no de la forma esperada”. En cualquier caso, supusieron un reto y un estímulo para los matemáticos del mundo entero.

La noción del espacio de Hilbert es más complicada. De entrada, es algo colateral a la irrupción a principios del siglo XX de la relatividad general y la mecánica cuántica. En ese mundo relacionado con la física entra, como caballo en cacharrería, Hilbert. Como indica Carlos Madrid: “el denominado espacio de Hilbert ha terminado siendo la estructura matemática que guarda la llave al universo cuántico”. No seré yo quien se lo discuta. Ya antes, bastante antes, Hilbert creía que “la física podía hacerse completamente rigurosa según los estándares del método axiomático”. Llegados aquí, en este momento, podemos colocar el mismo letrero de la entrada del infierno de Dante: “Lasciate ogni spreranza voi ch’entrate” como aviso a los que, sin un amplio dominio de las matemáticas, trate de entender lo que se expone.

Un ejemplo: cuando se inicia este capítulo se aborda el problema del principio de Dirichlet. ¿En qué consiste? Pues literalmente se nos dice que “consiste en encontrar una función armónica en un dominio del espacio”. Y rápidamente lo aclara: “es decir, una función que satisface la ecuación de Laplace Дu=0 en ese dominio del espacio” No sigamos porque luego se expresa con fórmulas matemáticas. Inmisericorde, el autor nos trata de pasear por la conjetura de Waring, los tensores métricos, las ecuaciones integrales, hasta desembocar en el análisis funcional que “estudia las funciones colectivamente, es decir, los espacios de funciones” y “generaliza las nociones geométricas del espacio n-dimensional.” Pues bien, “entre esos espacios infinito-dimensionales destaca con nombre propio el llamado espacio de Hilbert”, que no era sino “el espacio de todas las sucesiones de números reales de cuadrado” sumable donde había que buscar la solución a un peculiar problema matemático.

El viaje, aunque infructuoso, no ha sido en vano. Me ha proporcionado una buena dosis de humildad a través de la constatación de mis grandes limitaciones, pero al mismo tiempo ha hecho desvanecerse la figura mítica del espacio de Hilbert. Porque lo que sí puede ver el diletante pretencioso que se acerque a sus ideas es el aspecto de su trayectoria científica y personal. Hilbert parece a primera vista un “rompepelotas”, una expresión de origen argentino que alude a las personas pesadas, irritantes e insistentes. Y hasta cierto punto lo es en su búsqueda de mínimas bases axiomáticas para todas las áreas de la matemática. Pero la cosa roza la tragedia humana cuando entre Gödel (con su incompletud) y Tarski (con su indefinibilidad) desmontan su construcción. Antes ha tenido enfrentamientos con Poincaré, por ejemplo, al combatir su intuicionismo. Ahora es simplemente derrotado, demolida la base de su construcción.

El libro nos descubre unas insospechadas luchas a muerte entre los matemáticos. Llega su autor a descalificar los ataques de Hilbert contra un competidor, Brouwer. A veces se tiene la sensación de estar ante una lucha entre pollos sin cabeza.

Carlos Madrid nos dice: “A lo largo de los dos últimos capítulos hemos comprobado como cada una de las concepciones de la matemática (platonismo, logicismo, intuicionismo, formalismo) presenta dos caras: por un lado, un plan de fundamentación de las matemáticas (la cojuntivación del platonismo, la logificación del logicismo, el constructivismo del intuicionismo, el axiomatismo del formalismo); por otro lado, una visión de la matemática (el realismo platónico y logicista, el conceptualismo intuicionista, el nominalismo formalista)”. A la cabeza del formalismo aparece Hilbert: “en cuanto fundamentación de la matemática, besó la lona; pero, en cuanto a filosofía de las matemáticas, ganó a los puntos”. O sea, grogui pero victorioso. Una calamidad: “hay que decir que el axiomatismo hilbertiano no encaja con el quehacer cotidiano del matemático, con su día a día”. En su tumba aparece grabada su frase, resumen de su ánimo: “Debemos saber, sabremos” (Wir müssen wissen. Wir werden wissen).

El libro tiene excesiva altura en la mayor parte de las ocasiones (¿o en casi todas?). No solamente se recrea en las ideas de Hilbert, sino que expone con la misma pasión las corrientes que derivaron de sus ideas o las combatieron. Pero si bien es un libro para entendidos, no deja de ofrecer al que no lo es una imagen muy realista del mundo de la matemática en los finales del siglo XIX y la primera mitad del XX. Un mundo que parece lleno de respetables frikis. Dicho esto, no se me podrá aplicar el dicho de que quien no avisa es traidor.

“Hilbert. En busca de unos axiomas universales” (1874 págs.) es un libro escrito por Carlos M. Madrid Casado en 2013 y publicado por RBA en su colección “Genios Matemáticas” en 2017