Enrique Gracián : “El misterio de los números primos. Un largo camino al infinito”.

No es algo gratuito el hablar del misterio de números primos, pero lo más misterioso de esos números es el atractivo que poseen. Y no sólo para los profanos que oyen noticias de ellos, sino sobre todo para los grandes matemáticos, realmente encelados con ellos. Se diría que ese atractivo se debe a su carácter rebelde e imprevisible; todos los intentos de hacerlos previsibles han resultado inútiles hasta el punto de poderse afirmar que los números primos son un fracaso de los matemáticos.

Enrique Gracián es un divulgador científico cuyo nombre ni siquiera aparece en la cubierta del volumen manejado (será costumbre de RBA y la National Geographic, se diría uno si no fuera porque figura en otros libros sobre los números primos de la misma RBA en su colección “Matemática Popular”). Como divulgador, Gracián se nos aparece como mezcla de periodista y matemático. Durante muchos años estuvo en la televisión, como subdirector del programa “Redes” que dirigía Eduardo Punset. En cualquier caso, es de alabar lo correcto de su labor divulgadora; en el libro destaca cómo, siendo los números primos algo perfectamente definible y explicable ya en la escuela, son sin embargo los que resisten impávidos los intentos de los más grandes matemáticos para conocerlos. De los que pueden ser divulgados a los profanos. Aunque en este punto se hace necesaria una distinción: hay partes en los que el contenido riguroso de los conceptos debe ser reducido para hacerlo divulgable inteligible; pero hay otras en los que debe prescindir de esa benevolencia y de emplear un lenguaje matemático que excluirá su entendimiento por quienes no sean matemáticos expertos.

Lo que es un número primo es muy fácil de definir: es todo número que únicamente es divisible por sí mismo y por 1. O sea, no hay forma de dividirlo por otro (dejando aparte el 1, que es divisor de todo número ya que supone su misma identidad como resultado). Se abre la primera etapa, la de identificación de los números primos: qué número lo es y que otro, siendo sospechoso de serlo, no lo es. Y Eratóstenes, unos dos siglos antes de nuestra era cristiana, nos proporcionó su famosa criba, un método casi infantil de determinar los números primos existentes entre los primeros 100 números naturales. Era para nosotros más un juego que otra cosa. Luego llegaron formas de extender el mecanismo de Eratóstenes a números mayores de 100. Al final la criba resultó algo inútil para lidiar con números con millones o billones de cifras. Parecía que, al fondo del escenario, siempre aparecían riéndose los números primos y sus misterios.

Los números primos producen por otra parte un cierto estremecimiento: al principio son frecuentes, pero poco a poco se van haciendo más infrecuentes a medida que recorremos la sucesión infinita de los números. Se producen grandes lagunas. ¿Podía llegar un momento en el que ya no hubiera sitio para los números primos, agotadas ya sus posibilidades de serlo? Esta es una cuestión que siempre preocupó: ¿su número es infinito? Siempre ha sido un sueño el que, cuando alguien se enfrenta a un panorama de cosas más o menos arbitrarias y caprichosas, el número de éstas es limitado. Quizá a esto hayan colaborado los videojuegos, donde el “Game is Over” es solo una alternativa a la del ganador que acaba con todas las amenazas.

Pero, de nuevo, los números primos son otra cosa: su número infinito está demostrado y su infinitud agrega una nueva dificultad en el desentrañar sus misterios. Porque a su carácter infinito (los números pares, por ejemplo, también lo son y el hotel de Hilbert nos abre los ojos a esas infinitudes) añade la imprevisibilidad que está ausente en otros casos.

Pero en esas algunas aparece de nuevo la peculiaridad de los números primos representado en este caso por los llamados “gemelos”, primos extrañamente cercanos entre sí. E igual que gemelos hay ”trillizos”. Gracián consigna que los gemelos más grandes conocidos están separados por únicamente una cifra —par, claro— y tienen cada uno “la friolera de cien mil trescientos cincuenta y cinco cifras”.

Llega un momento en que el libro toma otros derroteros. Aprovecha el hecho cierto de que fueron casi todos los matemáticos ilustres los que se atrevieron a enfrentarse a estos extraños números, para explicarnos algo de sus descubrimientos y avances. Es algo más que disculpable, no sólo porque realmente se enfrentaron a ellos, sino porque resulta difícil llenar todo un libro hablando exclusivamente de unos números que, casi literalmente, se nos escapan, escurridizos como son, de las manos, es decir, desbordan nuestro sentido común.

Ya en el siglo XVII aparecen dos figuras interesadas por los números primos: el fraile mínimo Marin Mersenne y el abogado Pierre de Fermat. El primero conocido por proponer la primera serie de números primos, los que llevan aún su nombre y que, aunque con errores, mostraron su utilidad. El segundo, famoso por sus dos teoremas, llamado el primero “pequeño teorema de Fermat”. Al hilo de ambos surgieron los “números de Fermat”. Euler en el siglo XVIII seguirá la persecución de los números primos y, singularmente, los intentos de demostrar su número infinito su identificación.

El libro dedica su atencion a dos cuestiones aparentemente ajenas a los números primos, como son los logaritmos y los primeros números imaginarios. Es cierto que, en principio, ni unos ni otros se ocupan inicialmente con los números primos, pero es igualmente cierto que finalmente se topan con ellos. Es algo que debemos constatar: los que podíamos considerar humildes y pintorescos números primos, surgen como fantasmas que muestran su presencia en el mundo matemático, cuando se abordan los grandes problemas, especialmente en la matemática de los números.

Algo que hay que destacar es que, en esa línea, Gracián hace un esfuerzo para hacer lo más inteligible posible para el profano las expresiones matemáticas contenidas en el libro. Una buena prueba de ello es la explicación que ofrece del signo del sumatorio Σ y del posterior signo ζ (fi) o función zeta de Riemann.

Lo hace aprovechando la referencia a los esfuerzos realizados para saber si existe un número finito o infinito de números primos. Los esforzados son ahora Euler y Ramanujan. El primero se introdujo en la suma de cantidades derivadas de una función dada, o sea en el cálculo integral, y tras definir las series convergentes (con un límite) y las divergentes (sin límite), terminó demostrando que la serie de números primos era una sucesión divergente que, por lo mismo, podía tender al límite representado por el infinito. Le sirvió de apoyo la conjetura de que cualquier número superior a uno es suma de dos números primos, la llamada “conjetura de Goldbach”.

Sus esfuerzos fueron continuados por los de Riemann y Ramajuan representando “el paradigma del rigor matemático el primero y de la imaginación en estado puro el segundo. Ambos se enfrentaron a los números primos y cosecharon éxitos y fracasos”. Riemann, en primer término, progresó por el camino de Euler, introduciendo la llamada función o función zeta. Imposible seguir los razonamientos. Baste decir que la conclusión es que, si existe una regularidad de los números primos, se añade a ella la de otros números primos que constituyen algo así como el ruido en la música. De Ramajuan, al que no regatea ningún elogio: la exótica mente matemática de Ramajuan produjo “algunos resultados aparentemente falsos, pero en su mayor parte dio resultados ciertos y de una gran belleza matemática”. Pero eso no sucedió en el campo que nos ocupa.

El carácter misterioso de los números primos se manifiesta en otro hecho: ¿cómo saber que un número dado es primo? Por descontado conocemos los primeros, pero llega un momento en que nos vemos obligados a manejar grandes números. El único procedimiento eficaz es dividir el número dado por todos los números inferiores al examinado. Cuando el hombre no puede con esa tarea, le ayuda el ordenador que también encontrará su límite. El libro menciona el caso de un número a examinar de cincuenta cifras. Pues bien, en ese caso, “en un ordenador con capacidad para realizar mil millones de divisiones por segundo necesitaríamos bastante más de trescientos millones de años para finalizar el cálculo”. Y el infinito siempre estará más allá.

La solución la han hallado los matemáticos en la resignación. Por una parte, los números de Mersenne resultan útiles. Por otra, se han ingeniado procedimientos encuadrables en los polinomiales determinísticos y los probabilísticos; los primeros más lentos y los segundos más inseguros. Los matemáticos buscaron la utilidad hasta que Gauss se centró en las demostraciones. Hoy se retoma, vencidos, el primer camino. “Utilizamos teoremas no demostrados y damos por buenos el resultado confiando en que la probabilidad de cometer un error es muy baja”. Y añade: “A este escenario se ha llegado debido, por un lado, a la enorme capacidad de los algoritmos computables y por otro, a la necesidad actual de disponer de grandes números primos”, singularmente con fines de encriptación. La historia de la búsqueda de los números primos “es, en cierta medida, la historia de un fracaso”. Gracián termina confesando que se está ante “un misterio en el que la mente humana jamás podrá penetrar”.

Sólo un experto en la ciencia matemática podrá leer sin dificultad este libro y entender todo su contenido, pero cualquier persona aprenderá algo con su lectura. Ofrece, por ejemplo, una visión curiosa de la evolución de la ciencia y de su sentido, o el dilema entre la demostración teórica y la utilidad práctica. En cualquier caso, nos enfrenta con las limitaciones de las que adolecen nuestros actuales conocimientos.

El libro añade dos breves demostraciones del teorema fundamental de la aritmética (todo número natural diferente de 1 se puede expresar como producto de factores primos) y del “pequeño teorema de Fermat”.

“El misterio de los números primos. Un largo camino al infinito” (144 págs.) es un libro del que es autor Enrique Gracián en 2015 siendo publicado por RBA el mismo año dentro de la colección  “El mundo matemático”. Es un libro de National Geographic España.

Marcus du Sautoy : “Los mi5terios de los númer6s. La odisea de las matemáticas en la vida cotidiana”

El libro que ahora se está comentando propone la entrada en algo así como un paraje que anida cinco paraísos perdidos en donde realmente encontraremos ideas aún no desarrolladas y problemas aún no resueltos. Nos invita a un paseo entretenido e ilustrativo por ese mundo aún tembloroso de que se mueven los matemáticos y nos descubre al mismo tiempo la forma en que históricamente fueron progresando tratando de resolver los problemas planteados. Así podemos ver cómo surgió la topología, la teoría del caos o la informática.

Estos cinco paraísos están ideados para acompañarnos por el terreno de los siempre tan atractivos como misteriosos números primos (“El incidente de los primos interminables”), seguido del de las formas (“La historia de la forma elusiva”), de la afirmación de que en el juego puede no perderse siempre (“El secreto de la racha ganadora”), de que existe un código que no puede desentrañarse (“El caso del código indescifrable”), para terminar con la utilidad de la matemática para saber lo que nos espera (“En busca de la predicción del futuro”).

El autor es un matemático británico nacido en Londres en 1965. Goza de una gran reputación originada tanto por su trayectoria académica como por el hecho de ser el presentador en televisión de un programa dedicado a los números y emitido con el título “The Code” por la BBC. Aunque tiene la humildad de afirmar que ”los matemáticos no tienen respuesta para todo”.

 A propósito: la “boutade” de sustituir algunas letras por números es objeto de una curiosa modificación en la versión española. El título original de la obra es “The Num8er My5teries”; el de su traducción, “Los mi5terios de los númer6s”. Mientras se mantiene el 5, sustituto de la S, el 8 sustituyendo a la B, se transmuta en 6 que reemplaza a la O, ya que en la palabra “número” no aparece la B. Sin embargo, este hecho, el que originalmente se sustituyan letras por números, delata un cierto espíritu comercial del autor. O venal. Lo que se confirma cuando en el libro todo parece lleno de invitaciones para unirse a los problemas y soluciones incluidos en el libro y que reproducen, amplían o resuelven en una determinada WEB.

Los números primos: ¿Qué haríamos sin ellos? Uno piensa que permanecerán para siempre como la eterna pregunta a la que los matemáticos no sabrán responder. Aceptado ya que su número es infinito surgieron las incógnitas ¿cómo existen algunos tan próximos entre ellos y otros tan lejanos del siguiente? ¿a qué obedece su irregularidad de aparición? En definitiva, los números primos parecen gobernar muchos aspectos de la matemática sin que se sepa a qué se pueda deber esa extraña a dominación. Probablemente lo único que quede en claro sea nuestro pobre bagaje de conocimientos y la duda de si la matemática es únicamente una creación humana. Sin querer se recuerda el “degenerando, degenerando” de Juan Belmonte; sin faltar con ello a las personas ilustres por superiores que tantas veces se sintieron obligadas a correr tras de conejos mecánicos.

No es desde luego el mas brillante de los apartados del libro. Quizá la causa esté en que, anteriormente, ya Du Sautoy había publicado en 2003 un libro dedicado a los números primos y, lógicamente, pretendía no repetirse en exceso. Quizá lo más atractivo de este apartado sea la referencia a la fórmula propuesta por Martin Mersenne en el siglo XVII para encontrar grandes números primos. Se relaciona con la vieja leyenda del pago al inventor del ajedrez y se podría resumir así: “siempre que uno se fije en un escaque del tablero cuyo número de orden corresponda a un número primo, el número total de granos de arroz acumulados hasta ese momento será también primo”. La fórmula fracasó en el escaque undécimo: los granos acumulados era 2.047, cifra divisible por 23 y 89. Pero ha funcionado en otros casos. Otra cosa sugerente es lo sucedido con la afirmación iniciada por Gauss de que los números primos son cada vez más escasos a medida que el recorrido de su búsqueda progresa. Y que ese decrecimiento responde a un mismo factor: el 2,3.

“La historia de la forma elusiva” es el segundo de los espacios de que hablaba. Adolece de la misma acumulación de temas inconexos y heterogéneos. El mismo autor lo reconoce al indicar que “presenta un catálogo bastante completo de las extrañas y maravillosas formas que aparecen en la naturaleza”. ¿Qué duda cabe que las leyes físicas preceden a las biológicas y que éstas las asumen, parasitan o superan? ¿O que, a través de las primeras, la naturaleza orgánica busca una especial acomodación o comodidad? La aceptación de estas realidades justifica que se nos repase la preferencia por las formas esféricas de los perdigones o los balones de futbol, la peculiar de los granos de una granada, la vistosidad de los copos de nieve… hasta llegar a la fractalidad, la topología, y la forma del universo, aunque olvidando el caos o la igualadora entropía. Todo está contado amablemente, lleno de anécdotas entretenidas, pero casi siempre traicionando la promesa anunciada. Vistiendo a lo profundo de liviano.

El tercero de los paraísos al que nos conduce el libro es el referido a los juegos. Este es un mundo en donde nos vamos a enfrentar con la aleatoriedad y la probabilidad. Y también con la psicología ya que cuándo inicia su análisis lo hacen aludiendo al viejo juego de papel, piedra y tijera. El resultado que resulta es que existe una propensión a elegir la piedra, estimando el papel es algo muy vulnerable. Esto puede inducir a pensar que ello puede introducir cierta ventaja.  A partir de ahí recorrerá los distintos juegos, empezando por el póker y pasando por las loterías. Aquí ya todo será aleatoriedad y las probabilidades de acierto se disolverán en ella. Uno diría que el libro a partir de aquí es disuasorio: la matemática puede descubrirnos desequilibrios, pero éstos son siempre ligeros y de escaso peso. Algo que nos recuerda: doblando la anterior apuesta y pese al famoso “0” que convierte el 36 en 37, se lograría, echando tiempo y persistencia, un beneficio, Pero Du Sautoy nos recuerda: los casinos imponen indirectamente un obstáculo a esa técnica limitando la cantidad con la que se puede jugar cada sesión.

No puede resultar este apartado más disuasorio del juego En el juego no hay más que la suerte y los recovecos que nos pueda ofrecer la matemática y su cálculo de probabilidades son simplemente impotentes frente a ella.

Entramos en el cuarto que los apartados o capítulos y nos topamos con los códigos. La primera advertencia es que estamos rodeados de códigos desde el mismo lenguaje que a diario utilizamos hasta el ADN que gobierna nuestro organismo, pasando por todos los que nos ofrecen nuestros teléfonos o nuestra economía. La función habitual de los códigos ha sido ocultar el mensaje a los ajenos al mismo. Quizá la primera actuación de criptografía ha sido la de simple sustitución: una letra es sustituida por otra. La frecuencia de las letras en el lenguaje normal determinó que fuera necesario hacer más compleja la sustitución. Fue un camino que llegó hasta el famoso ENIGMA alemán donde la sustitución era continua. Al paso de esto, el libro nos cuenta curiosidades en torno a la forma en que históricamente se ocultaron los mensajes. Esta referencia a curiosidades desconocidas u olvidadas hace especialmente interesante la lectura de este libro. La historia de ENIGMA es, simplemente, fascinante: en su ideación, en su descubrimiento.

El quinto y último de los capítulos se titula “En busca de la predicción del futuro”. La tesis fundamental es clara: la matemática es el instrumento más adecuado para predecir el futuro, pero aun así hay muchos aspectos que no es capaz de cubrir. Achaca esto fundamentalmente a la imposibilidad de conocer todos los datos a partir los cuales sería posible una proyección segura. Así nos recuerda el fracaso de Poincaré cuando trató de resolver el problema planteado por el rey de Suecia sobre la posibilidad con posibilidad de que la tierra y el sistema solar colapsaran en un momento determinado. Poincaré rectificó su primer error al comprender que no podía conocer todos los datos precisos para llegar a una conclusión cierta.

Nació entonces el mito del movimiento de las alas de una mariposa. Nació sobre todo la teoría del caos cuya representación más palmaria era la imagen fractal. La imposibilidad de conocer con exactitud todos los datos de partida impedía la predicción del futuro, pero no implicaba que no se siguieran cumpliendo matemáticamente todas las reglas establecidas. Ni siquiera los más potentes ordenadores podían hacer los cálculos precisos para ello. Lo cual no implicaba que no pudiera llegarse a importantes aproximaciones. El autor nos recuerda el famoso quiebra de la banca de un casino por el simple hecho de lograr unos avisados tener únicamente una aproximación del ozono en que podía caer en la bola en la ruleta: una zona de solamente seis números contiguos. El de la cabeza y lo había hombre o si es mejor no está haciendo tipo de actos de.

Pienso que estoy ante un libro claramente mejorable. Sobran en él las redes comerciales tendidas para cazar adeptos. No tiene sentido el que parezca que se sostenga una determinada tesis sin que, propuesta en el inicio, alcance su confirmación en su final. Sobra la acumulación de datos heterogéneos y diversos, apenas relacionados con los temas planteados. He dejado pasar un tiempo y he vuelto a releer el libro, con lectura rápida cuando el interés no la detiene y la hace pausada. La sensación negativa persiste y aumenta. Las críticas no han desparecido y se hacen más presentes. Es un libro que, sin ser inútil, no parece necesario.

“Los misterios de los númer6s, La odisea de las matemáticas en la vida cotidiana”  (352 págs.) es un libro escrito por Marcus de Sautoy en 2010. Editado es España por la editorial Acantilado en 2012 y en 2015 en una tercera edición que es la ahora comentada.