No es algo
gratuito el hablar del misterio de números primos, pero lo más misterioso de
esos números es el atractivo que poseen. Y no sólo para los profanos que oyen
noticias de ellos, sino sobre todo para los grandes matemáticos, realmente
encelados con ellos. Se diría que ese atractivo se debe a su carácter rebelde e
imprevisible; todos los intentos de hacerlos previsibles han resultado inútiles
hasta el punto de poderse afirmar que los números primos son un fracaso de los
matemáticos.
Enrique Gracián
es un divulgador científico cuyo nombre ni siquiera aparece en la cubierta del
volumen manejado (será costumbre de RBA y la National Geographic, se diría uno
si no fuera porque figura en otros libros sobre los números primos de la misma
RBA en su colección “Matemática Popular”). Como divulgador, Gracián se nos
aparece como mezcla de periodista y matemático. Durante muchos años estuvo en
la televisión, como subdirector del programa “Redes” que dirigía Eduardo
Punset. En cualquier caso, es de alabar lo correcto de su labor divulgadora; en
el libro destaca cómo, siendo los números primos algo perfectamente definible y
explicable ya en la escuela, son sin embargo los que resisten impávidos los intentos
de los más grandes matemáticos para conocerlos. De los que pueden ser
divulgados a los profanos. Aunque en este punto se hace necesaria una distinción:
hay partes en los que el contenido riguroso de los conceptos debe ser reducido
para hacerlo divulgable inteligible; pero hay otras en los que debe prescindir
de esa benevolencia y de emplear un lenguaje matemático que excluirá su
entendimiento por quienes no sean matemáticos expertos.
Lo que es un
número primo es muy fácil de definir: es todo número que únicamente es
divisible por sí mismo y por 1. O sea, no hay forma de dividirlo por otro
(dejando aparte el 1, que es divisor de todo número ya que supone su misma
identidad como resultado). Se abre la primera etapa, la de identificación de
los números primos: qué número lo es y que otro, siendo sospechoso de serlo, no
lo es. Y Eratóstenes, unos dos siglos antes de nuestra era cristiana, nos
proporcionó su famosa criba, un método casi infantil de determinar los números
primos existentes entre los primeros 100 números naturales. Era para nosotros
más un juego que otra cosa. Luego llegaron formas de extender el mecanismo de
Eratóstenes a números mayores de 100. Al final la criba resultó algo inútil
para lidiar con números con millones o billones de cifras. Parecía que, al
fondo del escenario, siempre aparecían riéndose los números primos y sus
misterios.
Los números
primos producen por otra parte un cierto estremecimiento: al principio son
frecuentes, pero poco a poco se van haciendo más infrecuentes a medida que
recorremos la sucesión infinita de los números. Se producen grandes lagunas. ¿Podía
llegar un momento en el que ya no hubiera sitio para los números primos,
agotadas ya sus posibilidades de serlo? Esta es una cuestión que siempre
preocupó: ¿su número es infinito? Siempre ha sido un sueño el que, cuando
alguien se enfrenta a un panorama de cosas más o menos arbitrarias y
caprichosas, el número de éstas es limitado. Quizá a esto hayan colaborado los
videojuegos, donde el “Game is Over” es solo una alternativa a la del
ganador que acaba con todas las amenazas.
Pero, de nuevo,
los números primos son otra cosa: su número infinito está demostrado y su
infinitud agrega una nueva dificultad en el desentrañar sus misterios. Porque a
su carácter infinito (los números pares, por ejemplo, también lo son y el hotel
de Hilbert nos abre los ojos a esas infinitudes) añade la imprevisibilidad que
está ausente en otros casos.
Pero en esas
algunas aparece de nuevo la peculiaridad de los números primos representado en
este caso por los llamados “gemelos”, primos extrañamente cercanos entre sí. E
igual que gemelos hay ”trillizos”. Gracián consigna que los gemelos más grandes
conocidos están separados por únicamente una cifra —par, claro— y
tienen cada uno “la friolera de cien mil trescientos cincuenta y cinco
cifras”.
Llega un
momento en que el libro toma otros derroteros. Aprovecha el hecho cierto de que
fueron casi todos los matemáticos ilustres los que se atrevieron a enfrentarse a
estos extraños números, para explicarnos algo de sus descubrimientos y avances.
Es algo más que disculpable, no sólo porque realmente se enfrentaron a ellos,
sino porque resulta difícil llenar todo un libro hablando exclusivamente de
unos números que, casi literalmente, se nos escapan, escurridizos como son, de
las manos, es decir, desbordan nuestro sentido común.
Ya en el siglo
XVII aparecen dos figuras interesadas por los números primos: el fraile mínimo
Marin Mersenne y el abogado Pierre de Fermat. El primero conocido por proponer
la primera serie de números primos, los que llevan aún su nombre y que, aunque
con errores, mostraron su utilidad. El segundo, famoso por sus dos teoremas,
llamado el primero “pequeño teorema de Fermat”. Al hilo de ambos surgieron los
“números de Fermat”. Euler en el siglo XVIII seguirá la persecución de los
números primos y, singularmente, los intentos de demostrar su número infinito
su identificación.
El libro dedica
su atencion a dos cuestiones aparentemente ajenas a los números primos, como
son los logaritmos y los primeros números imaginarios. Es cierto que, en
principio, ni unos ni otros se ocupan inicialmente con los números primos, pero
es igualmente cierto que finalmente se topan con ellos. Es algo que debemos
constatar: los que podíamos considerar humildes y pintorescos números primos,
surgen como fantasmas que muestran su presencia en el mundo matemático, cuando
se abordan los grandes problemas, especialmente en la matemática de los
números.
Algo que hay
que destacar es que, en esa línea, Gracián hace un esfuerzo para hacer lo más
inteligible posible para el profano las expresiones matemáticas contenidas en
el libro. Una buena prueba de ello es la explicación que ofrece del signo del
sumatorio Σ y
del posterior signo ζ (fi) o función zeta de Riemann.
Lo
hace aprovechando la referencia a los esfuerzos realizados para saber si existe
un número finito o infinito de números primos. Los esforzados son ahora Euler y
Ramanujan. El primero se introdujo en la suma de cantidades derivadas de una
función dada, o sea en el cálculo integral, y tras definir las series convergentes
(con un límite) y las divergentes (sin límite), terminó demostrando que la
serie de números primos era una sucesión divergente que, por lo mismo, podía
tender al límite representado por el infinito. Le sirvió de apoyo la conjetura
de que cualquier número superior a uno es suma de dos números primos, la
llamada “conjetura de Goldbach”.
Sus
esfuerzos fueron continuados por los de Riemann y Ramajuan representando “el
paradigma del rigor matemático el primero y de la imaginación en estado puro el
segundo. Ambos se enfrentaron a los números primos y cosecharon éxitos y fracasos”.
Riemann, en primer término, progresó por el camino de Euler, introduciendo la
llamada función
o función zeta. Imposible seguir los razonamientos.
Baste decir que la conclusión es que, si existe una regularidad de los números
primos, se añade a ella la de otros números primos que constituyen algo así
como el ruido en la música. De Ramajuan, al que no regatea ningún elogio: la
exótica mente matemática de Ramajuan produjo “algunos resultados
aparentemente falsos, pero en su mayor parte dio resultados ciertos y de una
gran belleza matemática”. Pero eso no sucedió en el campo que nos ocupa.
El
carácter misterioso de los números primos se manifiesta en otro hecho: ¿cómo
saber que un número dado es primo? Por descontado conocemos los primeros, pero
llega un momento en que nos vemos obligados a manejar grandes números. El único
procedimiento eficaz es dividir el número dado por todos los números inferiores
al examinado. Cuando el hombre no puede con esa tarea, le ayuda el ordenador
que también encontrará su límite. El libro menciona el caso de un número a examinar
de cincuenta cifras. Pues bien, en ese caso, “en un ordenador con capacidad
para realizar mil millones de divisiones por segundo necesitaríamos bastante más
de trescientos millones de años para finalizar el cálculo”. Y el infinito
siempre estará más allá.
La
solución la han hallado los matemáticos en la resignación. Por una parte, los
números de Mersenne resultan útiles. Por otra, se han ingeniado procedimientos
encuadrables en los polinomiales determinísticos y los probabilísticos; los primeros
más lentos y los segundos más inseguros. Los matemáticos buscaron la utilidad
hasta que Gauss se centró en las demostraciones. Hoy se retoma, vencidos, el
primer camino. “Utilizamos teoremas no demostrados y damos por buenos el resultado
confiando en que la probabilidad de cometer un error es muy baja”. Y añade:
“A este escenario se ha llegado debido, por un lado, a la enorme capacidad
de los algoritmos computables y por otro, a la necesidad actual de disponer de grandes
números primos”, singularmente con fines de encriptación. La historia de la
búsqueda de los números primos “es, en cierta medida, la historia de un
fracaso”. Gracián termina confesando que se está ante “un misterio en el
que la mente humana jamás podrá penetrar”.
Sólo
un experto en la ciencia matemática podrá leer sin dificultad este libro y
entender todo su contenido, pero cualquier persona aprenderá algo con su
lectura. Ofrece, por ejemplo, una visión curiosa de la evolución de la ciencia
y de su sentido, o el dilema entre la demostración teórica y la utilidad
práctica. En cualquier caso, nos enfrenta con las limitaciones de las que
adolecen nuestros actuales conocimientos.
El
libro añade dos breves demostraciones del teorema fundamental de la aritmética (todo
número natural diferente de 1 se puede expresar como producto de factores primos)
y del “pequeño teorema de Fermat”.
“El misterio de los números primos.
Un largo camino al infinito” (144 págs.) es un libro del que es autor Enrique Gracián
en 2015 siendo publicado por RBA el mismo año dentro de la colección “El mundo matemático”. Es un libro de National
Geographic España.
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